Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 9

O balanço de massa e energia para três fluxos (\(m_1, m_2, m_3\)) em uma usina é descrito pelo sistema a seguir. Este sistema tem solução?

$$ \begin{cases} 2m_1 - m_2 + 3m_3 = 20 \\ 4m_1 + 2m_2 - m_3 = 10 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

Com 3 incógnitas e 2 equações, o sistema não pode ter solução única. Usaremos o método da eliminação para reduzir o sistema e expressar duas variáveis em termos de uma terceira (variável livre), provando a existência de infinitas soluções.

Passos da Resolução

Passo 1: Eliminar a variável \(m_2\)

Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda:

$$ (4m_1 - 2m_2 + 6m_3) + (4m_1 + 2m_2 - m_3) = 40 + 10 $$
$$ 8m_1 + 5m_3 = 50 $$

Passo 2: Expressar \(m_1\) em função de \(m_3\)

Isolamos \(m_1\) na equação resultante:

$$ 8m_1 = 50 - 5m_3 \implies m_1 = \frac{50 - 5m_3}{8} $$

Passo 3: Expressar \(m_2\) em função de \(m_3\)

Substituímos a expressão de \(m_1\) na primeira equação original (\(2m_1 - m_2 + 3m_3 = 20\)) e isolamos \(m_2\):

$$ 2\left(\frac{50 - 5m_3}{8}\right) - m_2 + 3m_3 = 20 $$
$$ \frac{50 - 5m_3}{4} - m_2 + 3m_3 = 20 $$
$$ m_2 = \frac{50 - 5m_3 + 12m_3 - 80}{4} = \frac{7m_3 - 30}{4} $$

Interpretação dos Resultados

As variáveis \(m_1\) e \(m_2\) dependem de \(m_3\), que atua como uma variável livre. Para cada valor real de \(m_3\), obtemos uma solução válida. Isso caracteriza um sistema com infinitas soluções.

Resposta Final

Sim, o sistema tem solução. Ele é um Sistema Possível e Indeterminado (SPI), pois possui infinitas soluções. A solução geral, com \(m_3=k\), é:

\( \left( \frac{50 - 5k}{8}, \frac{7k - 30}{4}, k \right) \) para qualquer \(k \in \mathbb{R}\).