Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 8

As condições de operação para três variáveis de controle de um motor, \(x_1, x_2, x_3\), são dadas pelo sistema:

$$ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 50 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 10 \\ -x_1 + 2x_2 + x_3 = 20 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

O método de Eliminação de Gauss-Jordan será aplicado para resolver este sistema 3x3. O processo consiste em obter a forma escalonada reduzida da matriz aumentada, o que nos permite ler a solução única diretamente da matriz final.

Passos da Resolução

Passo 1: Escrever a Matriz Aumentada

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 50 \\ 2 & -1 & 1 & 10 \\ -1 & 2 & 1 & 20 \end{array} \right] $$

Passo 2: Zerar a primeira coluna (abaixo do pivô)

Operações: \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) e \(L_3 \leftarrow L_3 + L_1\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 50 \\ 0 & -3 & 3 & -90 \\ 0 & 3 & 0 & 70 \end{array} \right] $$

Passo 3: Normalizar o pivô da segunda linha

Operação: \(L_2 \leftarrow -\frac{1}{3}L_2\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 50 \\ 0 & 1 & -1 & 30 \\ 0 & 3 & 0 & 70 \end{array} \right] $$

Passo 4: Zerar a segunda coluna (acima e abaixo do pivô)

Operações: \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\) e \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_2\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 20 \\ 0 & 1 & -1 & 30 \\ 0 & 0 & 3 & -20 \end{array} \right] $$

Passo 5: Normalizar o pivô da terceira linha

Operação: \(L_3 \leftarrow \frac{1}{3}L_3\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 20 \\ 0 & 1 & -1 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & -20/3 \end{array} \right] $$

Passo 6: Zerar a terceira coluna (acima do pivô)

Operação: \(L_2 \leftarrow L_2 + L_3\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 20 \\ 0 & 1 & 0 & 70/3 \\ 0 & 0 & 1 & -20/3 \end{array} \right] $$

Interpretação dos Resultados

A matriz final na forma escalonada reduzida fornece diretamente a solução. A primeira linha mostra \(x_1 = 20\), a segunda \(x_2 = 70/3\), e a terceira \(x_3 = -20/3\).

Resposta Final

As variáveis de controle do motor são: \(x_1 = 20\), \(x_2 = \frac{70}{3}\), e \(x_3 = -\frac{20}{3}\).