Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 7

As equações de equilíbrio para um corpo rígido com três forças \(F_1, F_2, F_3\) são dadas pelo sistema:

$$ \begin{cases} F_1 + F_2 = 10 \\ F_1 - 2F_2 = 0 \\ 3F_1 + 4F_2 + 2F_3 = 50 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

O sistema 3x3 será resolvido pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. A meta é transformar a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada reduzida, o que nos fornecerá diretamente os valores de \(F_1, F_2, F_3\).

Passos da Resolução

Passo 1: Montar a Matriz Aumentada

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 2 & 50 \end{array} \right] $$

Passo 2: Zerar a primeira coluna (abaixo do pivô)

Operações: \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) e \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & -3 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 2 & 20 \end{array} \right] $$

Passo 3: Normalizar o pivô da segunda linha

Operação: \(L_2 \leftarrow -\frac{1}{3}L_2\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 0 & 10/3 \\ 0 & 1 & 2 & 20 \end{array} \right] $$

Passo 4: Zerar a segunda coluna (acima e abaixo do pivô)

Operações: \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\) e \(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 20/3 \\ 0 & 1 & 0 & 10/3 \\ 0 & 0 & 2 & 50/3 \end{array} \right] $$

Passo 5: Normalizar o pivô da terceira linha

Operação: \(L_3 \leftarrow \frac{1}{2}L_3\)

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 20/3 \\ 0 & 1 & 0 & 10/3 \\ 0 & 0 & 1 & 25/3 \end{array} \right] $$

Interpretação dos Resultados

A matriz final está na forma escalonada reduzida. Cada linha nos dá o valor de uma variável diretamente: a primeira linha corresponde a \(F_1 = 20/3\), a segunda a \(F_2 = 10/3\), e a terceira a \(F_3 = 25/3\).

Resposta Final

As forças de equilíbrio são: \(F_1 = \frac{20}{3}\) N, \(F_2 = \frac{10}{3}\) N, e \(F_3 = \frac{25}{3}\) N.