Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 6

Uma mistura de fluidos é criada a partir de duas fontes: a primeira com 20% de substância A e a segunda com 50% de A. Para obter 100L de uma nova mistura com 35% de A, qual a quantidade (em litros) de cada mistura original (x e y) deve ser utilizada?

Estratégia de Resolução

A estratégia é modelar o problema com um sistema de duas equações lineares. A primeira equação representará o volume total, e a segunda representará a concentração da substância A. O sistema será resolvido pelo método da substituição.

Passos da Resolução

Passo 1: Montar a Equação do Volume Total

A soma das quantidades de cada mistura (\(x\) e \(y\)) deve ser igual ao volume total de 100 litros.

$$ x + y = 100 $$

Passo 2: Montar a Equação da Concentração de A

A quantidade total da substância A (35% de 100L) é a soma das quantidades de A de cada mistura original.

$$ 0.20x + 0.50y = 35 $$

Passo 3: Resolver o Sistema por Substituição

Isolamos \(x\) na primeira equação: \(x = 100 - y\).

Substituímos na segunda equação:

$$ 0.20(100 - y) + 0.50y = 35 $$

Resolvemos para \(y\):

$$ 20 - 0.20y + 0.50y = 35 $$
$$ 0.30y = 15 \implies y = 50 $$

Encontramos \(x\):

$$ x = 100 - 50 \implies x = 50 $$

Interpretação dos Resultados

A solução \(x = 50\) e \(y = 50\) significa que, para atingir as especificações, é necessário combinar volumes iguais de ambas as misturas. A verificação confirma que a soma dos volumes é 100L e a concentração de A é de 35%.

Resposta Final

Devem ser utilizados 50 litros da primeira mistura (x) e 50 litros da segunda mistura (y).