Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 5

As equações que governam as velocidades angulares \( \omega_1 \) e \( \omega_2 \) de um sistema de engrenagens são dadas por:

$$ \begin{cases} 2\omega_1 + 3\omega_2 = 150 \\ \omega_1 - \omega_2 = 50 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

A resolução será feita pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. Este método utiliza operações elementares em linhas sobre uma matriz aumentada para transformá-la na forma escalonada reduzida, da qual a solução pode ser lida diretamente.

Passos da Resolução

Passo 1: Montar a Matriz Aumentada

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 150 \\ 1 & -1 & 50 \end{array} \right] $$

Passo 2: Obter o pivô '1' na Posição (1,1)

Trocamos a Linha 1 com a Linha 2 (\(L_1 \leftrightarrow L_2\)).

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 50 \\ 2 & 3 & 150 \end{array} \right] $$

Passo 3: Zerar o elemento abaixo do pivô

Executamos a operação \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\).

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 50 \\ 0 & 5 & 50 \end{array} \right] $$

Passo 4: Obter o pivô '1' na Posição (2,2)

Executamos a operação \(L_2 \leftarrow \frac{1}{5} L_2\).

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 50 \\ 0 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

Passo 5: Zerar o elemento acima do segundo pivô

Executamos a operação \(L_1 \leftarrow L_1 + L_2\).

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 60 \\ 0 & 1 & 10 \end{array} \right] $$

Interpretação dos Resultados

A matriz final está na forma escalonada reduzida. A primeira linha corresponde a \(1\omega_1 + 0\omega_2 = 60\) e a segunda linha a \(0\omega_1 + 1\omega_2 = 10\). Portanto, a solução é lida diretamente da matriz.

Resposta Final

A solução para o sistema é: \(\omega_1 = 60\) rad/s e \(\omega_2 = 10\) rad/s.