Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 4

A análise de esforços em uma treliça pode ser modelada por um sistema de equações lineares. Resolva o sistema a seguir para as forças \(F_1\) e \(F_2\):

$$ \begin{cases} F_1 \cos(45^\circ) + F_2 = 100 \\ F_1 \sin(45^\circ) = 100 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

Para resolver este sistema, demonstraremos duas abordagens: o método da substituição e a Eliminação de Gauss-Jordan. O método da substituição é mais direto, pois a segunda equação permite isolar \(F_1\) facilmente. O método de Gauss-Jordan é mais sistemático, envolvendo a manipulação de uma matriz aumentada.

Passos da Resolução

Método 1: Resolução por Substituição

Passo 1.1: Isolar \(F_1\) na segunda equação.

Sabendo que \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

$$ F_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100 \implies F_1 = \frac{200}{\sqrt{2}} = 100\sqrt{2} $$

Passo 1.2: Substituir \(F_1\) na primeira equação.

Sabendo que \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

$$ (100\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + F_2 = 100 $$
$$ 100 + F_2 = 100 \implies F_2 = 0 $$

Método 2: Resolução por Eliminação de Gauss-Jordan

Passo 2.1: Montar a matriz aumentada.

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 100 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 100 \end{array} \right] $$

Passo 2.2: Aplicar operações elementares.

Operação \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\):

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 100 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right] $$

Operação \(L_2 \leftarrow -1 \cdot L_2\):

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 & 100 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

Operação \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\):

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 100 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

Operação \(L_1 \leftarrow \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot L_1\):

$$ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 100\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $$

Interpretação dos Resultados

Ambos os métodos, substituição e Gauss-Jordan, levam à mesma solução. A matriz final no método de Gauss-Jordan (a forma escalonada reduzida) nos dá diretamente os valores de \(F_1\) e \(F_2\).

O resultado indica que a força \(F_1\) é de \(100\sqrt{2}\) N, enquanto a força \(F_2\) é nula.

Resposta Final

A solução para o sistema é: Força \(F_1 = 100\sqrt{2}\) N (aproximadamente 141.4 N) e Força \(F_2 = 0\) N.