Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 10

Em um processo químico, as concentrações [A], [B] e [C] são definidas pelo sistema a seguir. Qual a concentração de B, [B]?

$$ \begin{cases} [A] + [B] + [C] = 15 \\ 2[A] - [B] + 3[C] = 20 \\ [A] + 2[B] - 2[C] = 10 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

Para encontrar a concentração [B], resolveremos o sistema 3x3 completo usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Este método transformará a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada reduzida, revelando os valores de todas as três concentrações.

Passos da Resolução

Passo 1: Montar a Matriz Aumentada

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 2 & -1 & 3 & 20 \\ 1 & 2 & -2 & 10 \end{array} \right] $$

Passo 2: Zerar a 1ª coluna (abaixo do pivô)

Operações: \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) e \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\).

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & -3 & 1 & -10 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \end{array} \right] $$

Passo 3: Obter o pivô na 2ª linha

Trocamos as linhas 2 e 3 (\(L_2 \leftrightarrow L_3\)) para ter um pivô '1'.

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & -3 & 1 & -10 \end{array} \right] $$

Passo 4: Zerar a 2ª coluna (acima e abaixo do pivô)

Operações: \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\) e \(L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2\).

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 4 & 20 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & -8 & -25 \end{array} \right] $$

Passo 5: Normalizar o pivô da 3ª linha

Operação: \(L_3 \leftarrow L_3 / (-8)\).

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 4 & 20 \\ 0 & 1 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 3.125 \end{array} \right] $$

Passo 6: Zerar a 3ª coluna (acima do pivô)

Operações: \(L_1 \leftarrow L_1 - 4L_3\) e \(L_2 \leftarrow L_2 + 3L_3\).

$$ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 7.5 \\ 0 & 1 & 0 & 4.375 \\ 0 & 0 & 1 & 3.125 \end{array} \right] $$

Interpretação dos Resultados

A matriz final na forma escalonada reduzida revela a solução. A segunda linha corresponde à equação \(0[A] + 1[B] + 0[C] = 4.375\), que nos dá diretamente o valor da concentração de B.

Resposta Final

A concentração da substância B, [B], é 4.375.