Resolução de Questão de Métodos Matemáticos

Professor: Felipe Heitmann
Disciplina: Métodos Matemáticos
Data: 22/08/2025

Questão 1

Resolva o sistema linear:

$$ \begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + y - z = 0 \\ x + 2y - 2z = -2 \end{cases} $$

Estratégia de Resolução

A estratégia para resolver este sistema é utilizar o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Primeiro, o sistema é convertido para uma matriz aumentada. Em seguida, aplicamos operações elementares nas linhas da matriz para transformá-la em sua forma escalonada reduzida. A solução (ou a falta dela) pode ser determinada diretamente a partir desta forma final.

Passos da Resolução

Passo 1: Montar a Matriz Aumentada

Representamos o sistema na forma de uma matriz aumentada `[A|B]`, onde `A` é a matriz dos coeficientes e `B` é o vetor dos termos constantes.

$$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 1 & 2 & -2 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Passo 2: Aplicar Operações Elementares

Trocamos a Linha 1 com a Linha 2 para obter um pivô '1' na posição (1,1).

Operação: \(L_1 \leftrightarrow L_2\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & 2 & -2 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Agora, zeramos os outros elementos da primeira coluna.

Operação: \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & 3 \\ 1 & 2 & -2 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Operação: \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Normalizamos a Linha 2 para obter um novo pivô.

Operação: \(L_2 \leftarrow L_2 / (-3)\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Finalmente, zeramos os elementos acima e abaixo do novo pivô.

Operação: \(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} $$

Operação: \(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\)

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{bmatrix} $$

Interpretação dos Resultados

A última linha da matriz escalonada corresponde à equação:

$$ 0x + 0y + 0z = -1 $$

Isso simplifica para a afirmação contraditória:

$$ 0 = -1 $$

Como essa igualdade é falsa, ela indica que o sistema linear não possui nenhuma solução possível.

Resposta Final

O sistema é Inconsistente (ou Impossível). Não existe um conjunto de valores para \(x, y, z\) que satisfaça todas as três equações simultaneamente.